摘要：為了解決擺線針輪行星減速器的傳動(dòng)效率低，結(jié)構(gòu)不夠緊湊的問(wèn)題，通過(guò)推導(dǎo)其傳動(dòng)效率的公式，并對(duì)設(shè)計(jì)變量和約束條件進(jìn)行研究，建立了以體積最小、效率最高為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。采用遺傳算法，運(yùn)用ＭＡＴＬＡＢ軟件編制遺傳優(yōu)化程序，調(diào)用遺傳工具箱進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果與傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)相比，體積減小16.6，效率增加2.06％，優(yōu)化效果顯著，從而為擺線針輪行星減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的理論和方法。

          減速器是機(jī)械傳動(dòng)中的核心部件，漸開線減速器具有廣泛的應(yīng)用，但有些場(chǎng)合卻不能滿足使用要求。擺線針輪行星減速器具有體積小、質(zhì)量輕、傳動(dòng)比范圍大、壽命長(zhǎng)、精度保持穩(wěn)定、傳動(dòng)平穩(wěn)等一系列的優(yōu)點(diǎn)而得到了廣泛的應(yīng)用。但擺線針輪行星減速器的傳動(dòng)效率卻比漸開線行星減速器的傳動(dòng)效率低，因此研究擺線針輪行星減速器的參數(shù)設(shè)計(jì)，優(yōu)化體積和傳動(dòng)效率具有重要意義。
            由于擺線針輪行星減速器涉及的參數(shù)比較多，關(guān)系比較復(fù)雜，影響的因素也較多，這就給擺線針輪行星減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來(lái)了一定的困難。從現(xiàn)在所發(fā)表的擺線針輪行星減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)論文［１］［２］１４２［３］來(lái)看尚存一定的不足，比如目標(biāo)函數(shù)單一，不能有效提高擺線針輪行星減速器的傳動(dòng)效率；各約束條件單位不統(tǒng)一，給優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)造成了一定的難度。因此全面和深入地研究擺線針輪行星減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，對(duì)擺線針輪行星減速器技術(shù)發(fā)展有一定的實(shí)用意義。本文中我們推導(dǎo)出擺線針行星減速器傳動(dòng)效率的公式，以體積最小和效率最高作為目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法對(duì)擺線針輪行星減速器進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。
              
１　擺線針輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型
  １．１　設(shè)計(jì)變量
擺線針輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)如圖１所示。現(xiàn)研究一級(jí)擺線針輪行星減速器優(yōu)化問(wèn)題，取擺線針輪行星減速器的針輪分布圓直徑ＤＺ；針齒銷直徑ｄｚ′；擺線輪寬度Ｂ；短幅系數(shù)Ｋ１；擺線輪內(nèi)孔直徑Ｄ１；柱銷直徑ｄｓ′作為設(shè)計(jì)變量，即  
                      
１．２　目標(biāo)函數(shù)
（１）本文以在功率和傳動(dòng)比一定條件下，并選定輸出機(jī)構(gòu)銷軸數(shù)Ｚｓ，選擇減速器體積最小為目標(biāo)函  數(shù)［２］１４２，即
                        ｍｉｎｆ１（ｘ）＝π４（ＤＺ＋ｄＺ′＋２Δ１）２（２Ｂ＋δ） （２）
         式中，Δ１為針齒套壁厚，一般取Δ１＝２～１０ｍｍ；δ為擺線輪之間的間隔，δ＝ｂ－Ｂ，ｂ為轉(zhuǎn)臂軸承寬度。 
                      
       （２）以擺線針輪行星減速器的傳動(dòng)效率為另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。
        當(dāng)針輪固定時(shí)，轉(zhuǎn)臂輸入時(shí)（針輪輸出時(shí)，轉(zhuǎn)臂輸入時(shí)類似），擺線針輪行星減速器的傳動(dòng)效率η 可近似用下式計(jì)算［４］３３０。
                              η＝ηｘｃηＢηＷηＢ′２ （３）
         式中，ηｘｃ為當(dāng)針輪固定，減速部分的嚙合效率，ηｘｃ＝１－０．０４πＺｃＫ１（１－ｄＺ′ＤＺ）１＋０．０４πＫ１（１－ｄＺ′ＤＺ）；ηＢ為轉(zhuǎn)臂軸承的效率，其概略值為，ηＢ＝０．９９～０．９９５；ηＷ為輸出機(jī)構(gòu)的效率，ηＷ ＝１－ ０．０８ＤＺＫ１ｄｓ′π［（ＤＺ－ｄｚ′－２Δ１－Ｋ１ＤＺ／Ｚｂ）＋Ｄ１］（ｄ′ｓ＋２Δ２）；ηＢ′為輸入或輸出軸上的滾動(dòng)軸承的嚙合效率，其概略值為ηＢ′＝０．９９～０．９９９。
        由文獻(xiàn)［４］３２４－３３０經(jīng)整理后，其效率計(jì)算式為
           
         考慮到η∈（０～１），將效率最大值轉(zhuǎn)換成最小值，則效率最大的目標(biāo)函數(shù)是
                    
              式中，Δ２為柱銷套壁厚，一般取Δ２＝２．５～５ｍｍ；Ｚｂ為針輪齒數(shù)，Ｚｂ＝ｉ＋１；Ｚｃ為擺線輪齒數(shù)Ｚｃ＝ｉ。
１．３　約束條件的建立
（１）擺線輪齒廓不根切條件的約束條件  
            
        式中，Ｄｓ為柱銷孔中心分布圓直徑，Ｄｓ＝ｄｆｃ＋Ｄ１２；ｄｆｃ為擺線輪齒根圓直徑，ｄｆｃ＝ＤＺ－（ｄｚ′＋２Δ１）－２?。耍保遥冢冢猓裕模螅剑郏模冢ǎ洌洌拨ぃ保耍保模冢冢猓模保荩?；ｄｓｋ為銷軸孔直徑，ｄｓｋ＝ｄｓ＋２Ａ，ｄｓ為銷軸套外徑，ｄｓ＝ｄｓ′＋２Δ２，Ａ 為偏心距Ａ ＝Ｋ１ＤＺ／２Ｚｂ，所以ｄｓｋ＝ｄｓ′＋２Δ２＋Ｋ１ＤＺ／Ｚｂ；Δ′為銷軸孔與擺線輪內(nèi)孔之間所留的一定厚度，Δ′＝０．０３ＤＺ。
            所以推得
                    
  （４）擺線輪與針齒的接觸強(qiáng)度條件
            由文獻(xiàn)［５］７４－８２推導(dǎo)整理得
                    
         式中，ＭＶ為輸出軸的阻力矩，ＭＶ ＝９７?。常叮埃冢悖危龋睿?，ＮＨ為輸入功率（ｋＷ）；ｎＨ為主軸轉(zhuǎn)速（ｒ／ｍｉｎ）；Ｙ２ｍａｘ為最大接觸應(yīng)力處的位置系數(shù)（由文［５］７７表１０查取）；［σｊ］為許用接觸應(yīng)力（ＭＰａ）。得
                 
（５）針齒銷的彎曲強(qiáng)度條件
        對(duì)于雙支點(diǎn)針齒銷的彎曲應(yīng)力，由文獻(xiàn)［５］８２－８５推導(dǎo)整理得
        
                 故約束條件為
                     
          式中，［σＷ ］為針齒銷許用彎曲應(yīng)力（ＭＰａ）；δ′為擺線輪于針齒殼側(cè)面見(jiàn)的間隙（ｍｍ），一般取δ′＝４ｍｍ；δ為擺線輪間隔環(huán)的厚度（ｍｍ），δ＝ｂ－Ｂ，ｂ為軸承的寬度；Δ為針齒殼側(cè)面的壁厚（ｍｍ），一般為Ｂ≥Δ≥ｄＺ′。
（６）柱銷的彎曲強(qiáng)度限制條件為
      Ｗ 機(jī)構(gòu)中的柱銷所受的最大彎曲應(yīng)力由文獻(xiàn)［５］８５－８７推導(dǎo)得
            
      （８）短幅系數(shù)Ｋ 應(yīng)在０．４５～０．８范圍選取，即
                   ｇ１０（Ｘ）＝０．４５－Ｋ≤０ （２１）
                   ｇ１１（Ｘ）＝Ｋ－０．８≤０ （２２）
   （９）擺線輪壁厚的約束條件［４］３１８
        擺線輪的厚度一般為Ｂ＝（０．０５～０．１）ＤＺ，故
                  ｇ１２（Ｘ）＝０．０５ＤＺ－Ｂ≤０ （２３）
                  ｇ１３（Ｘ）＝Ｂ－０．１ＤＺ≤０ （２４）
         綜上所述，擺線針輪減速器的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型可表示為
                    
２　遺傳優(yōu)化
         由于遺傳優(yōu)化具有魯棒性好、全局尋優(yōu)的特點(diǎn)［６］，為了避免陷入局部最優(yōu)解，本文采用遺傳算法對(duì)擺線針輪行星減速器進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。
  ２．１　求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的遺傳算法
           遺傳優(yōu)化中為了綜合考慮各分目標(biāo)函數(shù)在相對(duì)重要程度方面的差異和量綱上的差異，使各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)能均勻一致地趨向于各自的最優(yōu)解，采用加權(quán)法［７］２６。其目標(biāo)函數(shù)表示為
               Ｆ（ｘ）＝ｗ１ｆ１（ｘ）＋ｗ２ｆ２（ｘ） （２６）
           綜上所述，擺線針輪行星傳動(dòng)是多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。由于體積和效率兩目標(biāo)函數(shù)的量綱不同，值的大小相差很大，構(gòu)造統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)時(shí)難以充分反映各子目標(biāo)函數(shù)的重要程度，因此先將體積和效率的目標(biāo)函數(shù)作無(wú)量綱處理［８］。由于在擺線針輪行星減速器中體積和效率具有同等的地位，所以我們將各單目標(biāo)優(yōu)化值的倒數(shù)取作權(quán)重系數(shù)。
                  ωｉ＝１／ｆｉ＊（ｘ）ｆｉ＊（ｘ）＝ｍｉｎｆｉ（ｘ） （２７）
             式中，ωｉ是作了無(wú)量綱處理后的第ｉ個(gè)子目標(biāo)函數(shù)的 權(quán)重。      
       經(jīng)過(guò)這樣的處理后，使各子目標(biāo)函數(shù)的量綱得到了統(tǒng)一，在同一量綱的基礎(chǔ)上再對(duì)各子目標(biāo)函數(shù)賦予相應(yīng)的權(quán)數(shù)，最后就將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為了單目標(biāo)優(yōu)化。按照此方法，評(píng)價(jià)函數(shù)不僅不會(huì)受到各分目標(biāo)函數(shù)值相對(duì)大小的影響，還能充分反映出各單目標(biāo)函數(shù)值偏離各自最優(yōu)值的程度。
  ２．２　遺傳優(yōu)化算法的實(shí)現(xiàn)
         本文采用ＭＡＴＬＡＢ 語(yǔ)言編制遺傳算法程序［７］２６［９］，利用ＭＡＴＬＡＢ７．０中的遺傳算法工具箱中遺傳優(yōu)化函數(shù)ｇａ對(duì)擺線針輪行星減速器進(jìn)行遺傳優(yōu)化。先求得ｆ１（ｘ）、ｆ２（ｘ）分別為單目標(biāo)函數(shù)時(shí)的最小值，然后再求多目標(biāo)的最小值Ｆ（ｘ）。   
          
    ３　優(yōu)化實(shí)例及結(jié)果分析
３．１　實(shí)例
        以某公司生產(chǎn)的Ｂ１２型減速機(jī)為設(shè)計(jì)實(shí)例，減速機(jī)的輸入額定功率Ｐ１＝１１ｋＷ，輸入轉(zhuǎn)數(shù)ｎ１＝１４４０ｒ／ｍｉｎ，傳動(dòng)比ｉ＝２９，輸出機(jī)構(gòu)環(huán)形槽數(shù)Ｚｓ＝１０，擺線輪和針齒的材料均采用ＧＣｒ１５軸承鋼，ＨＲＣ５８～６２，許用接觸應(yīng)力［σｊ］＝１?。保埃埃停?，許用彎曲應(yīng)力［σＷ ］＝２００ＭＰａ。
  ３．２　優(yōu)化求解
         采用ＭＡＴＬＡＢ 遺傳工具箱進(jìn)行遺傳優(yōu)化，具體步驟如下：
①編寫以體積最小為單目標(biāo)函數(shù)的Ｍ文件，通過(guò)調(diào)用遺傳優(yōu)化函數(shù)ｇａ，求得最小體積為２?。埃矗础。保福?；②編寫以效率最高為單目標(biāo)函數(shù)的Ｍ文件，通過(guò)調(diào)用遺傳優(yōu)化函數(shù)ｇａ，求得最高效率為９５．３６％；③編寫以體積最小和效率最高為多目標(biāo)函數(shù)的Ｍ 文件，如圖２所示，其中體積的權(quán)重為１／２?。埃矗础。保福?，效率的權(quán)重為１／   （１－０．９５３　６）；④調(diào)用遺傳算法主函數(shù)ｇａ．ｍ。
                 
                              
           計(jì)算結(jié)果表明：采用遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)要優(yōu)于常規(guī)設(shè)計(jì)方法。在保證主要傳動(dòng)元件設(shè)計(jì)要求的同時(shí)，體積減?。保叮叮?，效率增加２．０６％ 。所以，利用遺傳算對(duì)擺線針輪行星減速器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)效果是顯著的。
          
４　結(jié)論
        分析影響擺線針輪行星減速器的主要參數(shù)，建立以體積最小和效率最高為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，并系統(tǒng)研究了優(yōu)化的約束函數(shù)。用ＭＡＴＬＡＢ語(yǔ)言編制了遺傳算法程序，運(yùn)用ＭＡＴＬＡＢ遺傳工具箱對(duì)其進(jìn)行遺傳優(yōu)化設(shè)計(jì)，在滿足強(qiáng)度條件的前提下，獲得比傳統(tǒng)方法更好的結(jié)果，使其結(jié)構(gòu)更緊湊，傳動(dòng)效率更高?？蔀閿[線針輪行星減速器設(shè)計(jì)提供理論支撐。